預(yù)付年金現(xiàn)值公式推導(dǎo)（現(xiàn)值終值年金6個公式總結(jié)）

一、年金定義

年金（annuity）是指一定時期內(nèi)每次等額收付的系列款項(xiàng)，通常用a來表示。

年金最初就是指一年一次的付款，但是后來有很多跟年金一樣的性質(zhì)的付款出現(xiàn)，但是其時間間隔不是一年，還有的是一年一次的收款，慢慢的，年金的指代的范圍就擴(kuò)大了，雖然現(xiàn)在年金所指代的范圍擴(kuò)大了，但是依然沿用年金這個叫法；

年金的特點(diǎn)在于等額、等期、等息，是一種理想化的收付款項(xiàng)，等額是指每次收付款的金額相等，等期是指經(jīng)過相同的時間間隔就會發(fā)生一次收付款，等息是指年金整個收支過程，利率是保持不變的。

二、年金的分類

按照年金收付款時間點(diǎn)和其他收付條件的不同，年金分為普通年金、預(yù)付年金、遞延年金和永續(xù)年金；

普通年金：又稱為后付年金，是指從第一期起，在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期末收付等額年金的年金；

預(yù)付年金：又稱先付年金、即付本金或期初年金，是指從第一期起，在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，預(yù)付年金與普通年金的區(qū)別僅在于收付款時間點(diǎn)不同，普通年金發(fā)生在期末，而預(yù)付年金發(fā)生在期初。

遞延年金：是指在第一期開始，遞延一定時期后，開始在在連續(xù)間隔期相等的多個時期中，每期期末支付等額年金的年金，遞延年金是普通年金的一種特殊形式；

永續(xù)年金：是等額收付年金的期限無限的一種特殊的普通年金。

三、年金的計(jì)算

年金是一種特殊形式的收付款項(xiàng)，核算年金的目的是幫助使用者衡量收支，所以年金的應(yīng)用在于計(jì)算年金的終值f（futurevalue或者finalvalue，也叫本利和，即本金和利息的和）和現(xiàn)值p（presentvalue），當(dāng)然有時候也會要計(jì)算收付次數(shù)n（n也代表年金收支的期數(shù)）、利率i、年金a。

計(jì)算年金的時候，不是站在收款方或者付款方的角度，而是站在一個與年金收付無關(guān)系的第三方角度，來計(jì)算年金的現(xiàn)值和終值；

因?yàn)槟杲瓞F(xiàn)值和終值的計(jì)算基礎(chǔ)是資金的復(fù)利計(jì)算，所以先介紹資金在復(fù)利情況下現(xiàn)值和終值的計(jì)算：

復(fù)利現(xiàn)值：p=f*(1+i)^-n，(1+i)^-n也稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，記作(p/f，i，n)

復(fù)利終值：f=p*(1+i)?，(1+i)?也稱為為復(fù)利終值系數(shù)，記作(f/p，i，n)

普通年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算

普通年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算也就是將每一次的收付款按復(fù)利計(jì)算現(xiàn)值或終值，然后在再加總求和；

原始公式：

p=a（1+i）^-1+a（1+i）^-2+……+a（1+i）^-n

f=a（1+i）^1+a（1+i）^2+……+a（1+i）^（n-1）

公式中的每一項(xiàng)對應(yīng)的就是年金中的一次收付款，通過將每一次收付款按照復(fù)利現(xiàn)值（復(fù)利終值）公式算出現(xiàn)值（終值）之后，再求和，就得到年金現(xiàn)值（年金終值）的公式了；

如果使用該公式計(jì)算，年金收付次數(shù)較多時，計(jì)算起來很繁瑣，為了方便計(jì)算，通過推導(dǎo)可以將公式簡化如下：

p=a*[1-(1+i)^-n]/i

f=a*[(1+i)^n-1]/i

將公式右邊年金以外部分視為系數(shù)（分別稱作年金現(xiàn)值系數(shù)和年金終值系數(shù)），通過查詢相關(guān)系數(shù)表找出對應(yīng)的值，可以進(jìn)一步簡化計(jì)算；

p=a*(p/a，i，n)

f=a*(f/a，i，n)

例題：2020年初張某因工作原因要出國工作三年，擬在銀行存入一筆款項(xiàng)請家人分次取出正好付清三年房屋物業(yè)費(fèi)，每年支付兩次，一次是6月末一次是12月末，每次3000元，若存款年利率是6%，那么張某出國前應(yīng)存入銀行多少錢？（(p/a，3%，6)=5.4172）

該題中求的是普通年金現(xiàn)值，因?yàn)槊磕曛Ц秲纱危昃褪?次，收付款次數(shù)n=6，利率也要與收付款間隔期對應(yīng)，所以利率i=3%；

可以使用原始公式進(jìn)行計(jì)算，就是將每一次支付的物業(yè)費(fèi)按其支付的時間點(diǎn)折現(xiàn)到2020年初，然后再將所有現(xiàn)值的和加起來，就可以得到年金現(xiàn)值，在這里十三就不詳細(xì)列出原始公式計(jì)算過程了；

用年金現(xiàn)值系數(shù)可以算出

p=3000*(p/a，3%，6)=16251.60

預(yù)付年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算

原始公式：

p=a（1+i）^-1+a（1+i）^-2+……+a（1+i）^-（n-1）

f=a（1+i）^2+a（1+i）^3+……+a（1+i）^（n）

和普通年金的原始公式計(jì)算的原理相同，公式中的每一項(xiàng)對應(yīng)的是預(yù)付年金中的一次收付款，通過將每一次收付款按照復(fù)利現(xiàn)值（終值）公式算出現(xiàn)值（終值）之后，再求和，就得到預(yù)付年金現(xiàn)值（終值）的公式了；

預(yù)付年金同樣可以通過推導(dǎo)進(jìn)行簡化，但是還有一個更加簡便的方法，預(yù)付年金和普通年金的區(qū)別在于收付款的時間點(diǎn)，普通年金收付款的時間點(diǎn)在每期的期末，而預(yù)付年金的收付款時間點(diǎn)在每期的期初，這個差異就導(dǎo)致預(yù)付年金每一次收付款的現(xiàn)值要比普通年金收付款的現(xiàn)值少折現(xiàn)一次，也就是少除以一次（1+i），所以預(yù)付年金的現(xiàn)值可由普通年金現(xiàn)值公式算出：

p=a*(p/a，i，n)*（1+i）

同樣的原理，對于預(yù)付年金的終值，每一次收付款的終值要比普通年金多算一次利息，也就是多乘以一次（1+i），所以預(yù)付年金的終值就等于

f=a*(f/a，i，n)*（1+i）

如此一來，預(yù)付年金的現(xiàn)值和終值都等于普通年金的現(xiàn)值和終值乘以（1+i），對于預(yù)付年金的計(jì)算就轉(zhuǎn)化成了普通年金的計(jì)算；

例題：某公司擬在5年后還清100萬元債務(wù)，從現(xiàn)在起每年年初存入銀行一筆款項(xiàng)。假設(shè)銀行存款利率為10%，則每年應(yīng)存入銀行多少元？（(f/a，10%，5)=6.1051）

這里求的是預(yù)付年金每年付款金額a，已知終值f=100萬，利率i=10%，付款次數(shù)n=5，用普通年金公式來計(jì)算預(yù)付年金終值，普通年金的付款次數(shù)n和利率i與預(yù)付年金的相等，

1000000=a*(f/a，10%，5)*（1+10%）

解得a=148906.80元

遞延年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算

遞延年金是一種特殊的普通年金，所以在計(jì)算時可以用普通年金的公式進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)該注意的是對于遞延期數(shù)的處理，假設(shè)m代表遞延的期數(shù)，收付款次數(shù)為n；

遞延年金的現(xiàn)值

方法一

遞延年金的現(xiàn)值等于“收付次數(shù)為遞延期數(shù)m與收付次數(shù)n之和的普通年金現(xiàn)值”減去“收付次數(shù)為遞延期數(shù)m的普通年金現(xiàn)值”的差，公式如下：

p=a*(p/a，i，m+n)-a*(p/a，i，m)

之所以可以這樣計(jì)算，其實(shí)是因?yàn)閷τ谝裕╩+n）為收付次數(shù)的普通年金，我們要求的遞延年金現(xiàn)值，少了前面m次收付款的折現(xiàn)值，而這m次收付款的折現(xiàn)值就等于收付次數(shù)為m的普通年金現(xiàn)值，所以就有了上述公式；

方法二

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為n的普通年金現(xiàn)值再按遞延期數(shù)m計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值，公式如下：

p=a*(p/a，i，n)*(p/f，i，m)

這樣計(jì)算的原理在于，現(xiàn)將遞延年金視為普通年金，計(jì)算出在第m期末的價值，這時候就相當(dāng)于計(jì)算收付次數(shù)為n的普通年金現(xiàn)值，我們最終要求的是處于當(dāng)前時點(diǎn)的現(xiàn)值，所以再將之前計(jì)算的普通年金現(xiàn)值按m期計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值，就得到我們所要求的結(jié)果了；

方法三

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為n的普通年金終值再按收付次數(shù)（m+n）計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值，公式如下：

p=a*(f/a，i，n)*(p/f，i，m+n)

其實(shí)這樣計(jì)算的原理和方法二是相似的，先將遞延年金視為普通年金，算出其在m+n期末的終值，需要求當(dāng)前時點(diǎn)的現(xiàn)值，就等于將之前計(jì)算結(jié)果按m+n期折現(xiàn)的復(fù)利現(xiàn)值；

例題：某企業(yè)近期付款購買了一臺設(shè)備，總價款為100萬元，從第二年年末開始付款，分五年平均支付，年利率為10%，則該設(shè)備的現(xiàn)值是多少？（(p/a,10%,6)=4.3553、(p/a,10%,1)=0.9091、(p/a,10%,5)=3.7908、(p/f,10%,1)=0.9091、(f/a,10%,5)=6.1051、(p/f,10%,6)=0.5645）

該題是求遞延年金現(xiàn)值，遞延期數(shù)m=1，收付次數(shù)n=5，年金a=100/5=20萬元，利率i=10%，

方法一

遞延年金的現(xiàn)值等于“收付次數(shù)為6（m+n=6）的普通年金現(xiàn)值”減去“收付次數(shù)為1（m=1）的普通年金現(xiàn)值”的差；

p=20*(p/a,10%,6)-20*(p/a,10%,1)=68.92

方法二

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為5（n=5）的普通年金現(xiàn)值再按遞延期數(shù)1（m=1）計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值，公式如下：

p=20*(p/a,10%,5)*(p/f,10%,1)=68.92

方法三

遞延年金的現(xiàn)值等于收付次數(shù)為5（n=5）的普通年金終值再按收付次數(shù)6（m+n=6）計(jì)算復(fù)利現(xiàn)值，公式如下：

p=20*(f/a,10%,5)*(p/f,10%,6)=68.92

遞延年金終值

遞延年金的終值和收付次數(shù)為n的普通年金終值是一樣的，因?yàn)槭崭洞螖?shù)同為n，遞延年金最初一筆收付款和普通年金的第一筆收付款的終值都是a*（1+i）^（n-1），經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn)，遞延年金每一筆收付款的終值，和普通年金對應(yīng)次數(shù)收付款的終值的計(jì)算方式是一樣的，所以遞延年金終值公式就是普通年金的終值公式；

f=a*(f/a，i，n)

永續(xù)年金的計(jì)算

永續(xù)年金沒有終值，因?yàn)橛览m(xù)年金沒有最終期，永續(xù)年金會一直收支款項(xiàng)；

永續(xù)年金的現(xiàn)值等于p=a/i，可由普通年金現(xiàn)值公式，求當(dāng)收付次數(shù)n趨于無窮大時推導(dǎo)出來；

插值法估計(jì)利率i或收付次數(shù)n

對于年金現(xiàn)值或終值公式，一般來說有4個變量，即現(xiàn)值p或終值f、年金a、利率i和收付次數(shù)n，在計(jì)算中，一般是知道其中的三個，然后求未知的一個，其中比較特殊的是求利率i和收付次數(shù)n；

這是因?yàn)樵谟?jì)算中，我們將公式進(jìn)行了簡化，將i和n包含到了現(xiàn)值系數(shù)或者終值系數(shù)中，而且用原始公式計(jì)算較為繁瑣，不夠方便，使用插值法計(jì)算則相對簡單；

用插值法進(jìn)行計(jì)算，首先由現(xiàn)有條件可得到一個關(guān)于利率i或者收付次數(shù)n的一元方程，以年金現(xiàn)值公式為例，由條件一般可知p、a，假設(shè)已知收付次數(shù)n，求利率i，則此時可得函數(shù)p/a=（p/a，i，n），此時可以將方程左邊看成一個整體b，視為因變量，因?yàn)槭崭洞螖?shù)n已知，該函數(shù)就是一個以i為自變量的一元函數(shù)；

然后再選取這一個一元函數(shù)中離所知點(diǎn)（因?yàn)閜、a和n已知，所以在直角坐標(biāo)系中，所知點(diǎn)為（i，p/a））最近的兩個點(diǎn)，可以通過年金現(xiàn)值系數(shù)表來找出，一個大于一個小于所知點(diǎn)值的點(diǎn)，如下圖，

由直角三角形的關(guān)系就可以得出a/b=c/d

也即(i-i1)/(i2-i1)=(b1-b)/(b1-b2)，通過年金現(xiàn)值系數(shù)表，其他兩個點(diǎn)的對應(yīng)的值我們是知道的，那么這個方程就只有一個未知數(shù)i，所以通過這個方程我們就可以求得i；

之所以能通過三角形關(guān)系來計(jì)算出利率i，是因?yàn)椴逯捣僭O(shè)我們選取的這三個點(diǎn)足夠接近，以致于可以視為這三個點(diǎn)在一條直線上，比如地球是圓的，但當(dāng)你選取的地球上兩個點(diǎn)之間的距離足夠小時，兩點(diǎn)之間就可以看做是直線，就像我們平常不會感覺到地球表面是圓的一樣，就是因?yàn)橄鄬τ诘厍騺碚f，我們所處的點(diǎn)足夠小；

小結(jié)：插值法計(jì)算的關(guān)鍵在于借由年金現(xiàn)值或終值公式構(gòu)建一個關(guān)于所要求的的利率i或者收付次數(shù)n的一元函數(shù)，另外還需要兩個已知的函數(shù)點(diǎn)來幫助求解，可通過系數(shù)表來查找。

例題：某公司向銀行借入12000元，借款期為3年，每年年末還本付息額為4600元，（p/a,7%,3）=2.6243，（p/a,8%,3）=2.5571，則借款利率為多少？

該題中已知現(xiàn)值p=12000，收付次數(shù)n=3，年金a=4600，求利率i，

第一步，先利用年金現(xiàn)值公式構(gòu)建一個方程

p/a=（p/a，i，3）

第二步，目前所知點(diǎn)為（i，p/a=12000/4600=2.6087）,此時離他最近的一個值大于他的點(diǎn)和一個值小于他的點(diǎn)就是題目給的兩個點(diǎn)（7%,2.6243）、（8%,2.5571），利用插值法可以得到

（i-7%）/（8%-7%）=（2.6243-2.6087）/（2.6243-2.5571）

解方程得i=7.33%

總結(jié)：各種年金的計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化成普通年金的計(jì)算，插值法的計(jì)算推理過程較為復(fù)雜，可以直接記憶公式來進(jìn)行計(jì)算。

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